Ecuaciones en Diferencia

Introducción

Una ecuación es una declaración de igualdad entre dos expresiones (una a cada lado del signo de igual) que consisten de variables, parámetros y/o números (The Editors of Encyclopaedia Britannica, 2021; CUEMATH, s.f.). Hay diferentes tipos de ecuaciones (lineares, cudràticas, diferenciales, etc.) y estas son usadas para modelar el comportamiento de diferentes sistemas o leyes en la naturaleza. Por ejemplo, a continuación se muestra la ecuación del modelo de Rescorla y Wagner que explica la cantidad de aprendizaje que ocurre en cada ensayo de un condicionamiento clásico (entre un estímulo condicionado - EC - y un estímulo incondicionado - EI -), el cual considera que la cantidad de aprendizaje depende de la cantidad de sorpresa que se traduce como la diferencia entre lo que realemnte pasa , \(λ\), y entre lo que se espera, \(V_{total}\) (Wilson, s.f.).

\[ ΔV = α β ( λ - V_{total}) \]

Donde:

• \(ΔV\) = El cambio en el valor predictivo de la fuerza ascociativa entre EC y EI.
• \(λ\) = El valor real de V (además representa el límite del aprendizaje).
• \(V_{total}\) = La estimación del agente de la fuerza asociativa entre el EC y el EI.
• \(α\) = Saliencia del EC.
• \(β\) = La velocidad de aprendizaje del EI.

Ecuaciones en Diferencia.

La psicología matemática es una rama de la psicología que se enfoca en el uso de las matemáticas y los modelos computacionales para explicar y predecir la conducta humana (Smith, Liu, Townsend y van Zandt, 2020). Las típicas áreas de interés son la memoria, atención, resolución de problemas, percepción, toma de decisiones y control motor. En particular, las ecuaciones en diferencia son muy útiles para modelas situaciones donde una varibale discreta (variable no continua que difiere en cada sucesión por una cantidad finita - usualmente una constante -) cambia sucesivamente, es decir, las ecuacioenes en diferencia se usan para modelar procesos discretos (The Editors of Encyclopaedia Britannica, 2016).

Una forma de especificar los términos de una suceción (5, 10, 15, 20, …) es contruyendo una regla que permita determinar el valor de cada término de la secuencia, \(x_{t+1}\), a partir de conocer el término anterior, \(x_{t}\), a lo que se le conoce como relación/reglas de recurrencia, mismas que son la base de las ecuaciones en diferencia, ya que resuelven una sucesión de casos encontrando la estructura comñun y la conexón de cada caso con el anterior (Evans, Jones y Lipson, 2008; Fernández, 2008).

Es así, que las ecuaciones en diferencia tienen dos partes:

• Una regla que relaciona los términos sucesivos en una secuencia.
• El valor de uno o más términos en la secuencia.

Por ejemplo:

\[ X_{t+1} = X_{t} + 5 \]

Donde: - \(X_{t}\) es igual al valor de un término en la secuencia. - Toda la ecuación representa la regla que relaciona los términos sucesivos en una secuecia.

Simulación

Funciones.

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```{python}
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas as pd


def y(x,a):       # the function 
    return a*x
 

def dsgraf(n_ensayos, y_o, a):

  data = np.zeros((n_ensayos,2))
  data[0,1] = y_o 
  data[0,0] = 0
  for step in range(n_ensayos):
      data[step+1,1] = y(data[step,1],a)
      data[step+1,0] =  step+1
      
      if step==n_ensayos-2:
          break

  data1 = data.copy()
  #print(data)

  data_df = pd.DataFrame(data1)
  col=data_df.columns.values.tolist()
  data_df.columns=['ensayo','y']

  #print(data_df)
  
  plt.scatter(data_df['ensayo'], data_df['y'], color="blue", marker="o")
  plt.xlabel("Ensayo")
  plt.ylabel("Y")
  plt.grid(color='g', linestyle='dotted', linewidth=1)
  plt.show( )
```

Crecimiento geométrico de una epidemia

\[ Y_{t+1} = a Y_{t} \]

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```{python}
dsgraf(n_ensayos = 20, y_o = 1, a= 2)
```

Versión Interactiva

Aquí puedes encontrar la versión alternativa.